Binomische Formeln: alle 3 Formeln mit Beispielen und Rechenwegen

Die drei binomischen Formeln im Überblick

Ein Binom ist eine Summe oder Differenz aus zwei Gliedern, zum Beispiel a + b oder x − 3. Die binomischen Formeln sagen dir, was herauskommt, wenn du ein solches Binom mit sich selbst oder mit seinem „Gegenstück“ multiplizierst. Du sparst dir damit das lange Ausmultiplizieren.

Erste binomische Formel: (a + b)²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Woher die Formel kommt, siehst du beim Ausmultiplizieren: (a + b)² heißt (a + b) · (a + b). Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten multipliziert: a · a + a · b + b · a + b · b. Weil a · b und b · a gleich sind, fasst du sie zu 2ab zusammen.

Anschaulich ist es ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b. Es besteht aus einem großen Quadrat a², einem kleinen Quadrat b² und zwei gleichen Rechtecken mit der Fläche a · b.

Auch beim Kopfrechnen hilft die Formel: 21² = (20 + 1)² = 400 + 40 + 1 = 441. Oder 103² = (100 + 3)² = 10.000 + 600 + 9 = 10.609.

Zweite binomische Formel: (a − b)²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Die zweite Formel funktioniert genauso, nur ist das Mittelglied negativ. Das letzte Glied b² bleibt positiv, denn (−b) · (−b) ergibt +b². Genau hier passieren die meisten Vorzeichenfehler.

Dritte binomische Formel: (a + b) · (a − b)

(a + b) · (a − b) = a² − b²

Beim Ausmultiplizieren entstehen die Glieder +ab und −ab. Sie heben sich auf, deshalb gibt es kein Mittelglied. Übrig bleibt die Differenz der beiden Quadrate.

Rückwärts: Terme mit den binomischen Formeln faktorisieren

Oft brauchst du die Formeln in die andere Richtung: Aus einer Summe soll wieder ein Produkt werden. Das hilft beim Kürzen von Brüchen und beim Lösen von Gleichungen.

1. Quadrate suchen: Stehen zwei Quadratzahlen oder Quadrate von Variablen im Term, etwa x² und 25?
2. Wurzeln ziehen: Aus x² wird x, aus 25 wird 5. Das sind deine Kandidaten für a und b.
3. Mittelglied prüfen: Ist das mittlere Glied genau 2 · a · b? Bei x² + 10x + 25 ist 2 · x · 5 = 10x. Also gilt x² + 10x + 25 = (x + 5)².
4. Vorzeichen zuordnen: Mittelglied positiv → 1. Formel, negativ → 2. Formel, kein Mittelglied und ein Minus zwischen den Quadraten → 3. Formel.

Passt das Mittelglied nicht, lässt sich der Term nicht direkt mit einer binomischen Formel schreiben. Dann hilft die quadratische Ergänzung – genau daraus entsteht die p-q-Formel.

Typische Fehler und wie du sie vermeidest

• Mittelglied vergessen: (a + b)² ist nicht a² + b². Probe mit Zahlen: (2 + 3)² = 25, aber 2² + 3² = 13.
• Faktor 2 vergessen: (x + 3)² = x² + 6x + 9, nicht x² + 3x + 9.
• Vorzeichen beim letzten Glied: Bei der 2. Formel ist b² immer positiv.
• Koeffizienten nicht quadriert: (5x)² = 25x². Die Klammer gehört zum ganzen Glied.
• 3. Formel verwechselt: (a − b)² und (a + b) · (a − b) sind verschieden. Nur das zweite ergibt a² − b².

Höhere Potenzen: (a + b)³ und das Pascalsche Dreieck

Für höhere Potenzen gibt es keine eigene Nummer mehr, aber ein festes Muster. Die Vorfaktoren (Binomialkoeffizienten) stehen im Pascalschen Dreieck: Jede Zahl ist die Summe der beiden Zahlen darüber.

Der allgemeine Fall heißt binomischer Lehrsatz. Für (a − b) wechseln die Vorzeichen ab: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.

Wo dir die binomischen Formeln bei Geld begegnen

Die erste binomische Formel steckt im Zinseszins. Legst du Geld zwei Jahre zu 5 % Zinsen an, wächst es mit dem Faktor 1,05². Nach der Formel ist das (1 + 0,05)² = 1 + 2 · 0,05 + 0,05² = 1 + 0,10 + 0,0025 = 1,1025.

Genau dieses kleine Glied b² wird bei langen Laufzeiten und höheren Potenzen immer größer – deshalb wächst Geld mit Zinseszins schneller als mit einfachen Zinsen. Für schnelle Anteilsrechnungen im Alltag helfen dir außerdem die Prozentrechnung und der Dreisatz.

Häufige Fragen