Zinseszins: Formel, Beispiele und Aufgaben mit Lösungen

Zinseszins heißt: Du bekommst nicht nur Zinsen auf dein Startkapital, sondern auch auf die Zinsen, die du in den Vorjahren erhalten haben. Dadurch wächst ein Guthaben, aber auch eine Schuld, mit der Zeit immer schneller. Hier findest du die Zinseszinsformel, Beispiele, Aufgaben mit Lösungen und einen Rechner.

Zinseszins: Definition

Von Zinseszins spricht man, wenn Zinsen nicht ausgezahlt, sondern dem Kapital zugeschlagen werden und in der nächsten Periode selbst mitverzinst werden. Bei einfacher Verzinsung gibt es dagegen jedes Jahr Zinsen nur auf das ursprüngliche Kapital.

Die Zinseszinsformel

Kn = K0 × (1 + p ÷ 100)^n

• Kn = Endkapital nach n Jahren
• K0 = Anfangskapital
• p = Zinssatz in Prozent pro Jahr
• n = Anzahl der Jahre (Zinsperioden)

Den Ausdruck (1 + p ÷ 100) nennt man Zinsfaktor q. Bei 5 % ist q = 1,05. Die Formel lautet dann kurz Kn = K0 × q^n. Auf dem Taschenrechner gibst du zum Beispiel 10000 × 1,05 ^ 10 ein (die Potenztaste heißt je nach Gerät ^, x^y oder y^x).

Beispiel: Einfacher Zins und Zinseszins im Vergleich

10.000 € zu 5 % pro Jahr, Zinsen werden jährlich gutgeschrieben:

Am Anfang ist der Unterschied klein, nach Jahrzehnten wird er groß. Das meint man mit „exponentiellem Wachstum“: Entscheidend sind vor allem Zeit und Zinssatz.

Formel umstellen: Anfangskapital, Zinssatz, Laufzeit

Dabei ist q = 1 + p ÷ 100 und „ln“ der natürliche Logarithmus (jeder andere Logarithmus funktioniert ebenso).

Unterjährige Verzinsung: monatlich oder vierteljährlich

Werden Zinsen mehrmals im Jahr gutgeschrieben, teilst du den Jahreszins durch die Zahl der Zinsperioden m und rechnest mit n × m Perioden:

Kn = K0 × (1 + p ÷ (100 × m))^(n × m)

Je häufiger verzinst wird, desto höher ist der tatsächliche Jahresertrag. Deshalb geben Banken den effektiven Jahreszins an, der die Zinsgutschriften innerhalb des Jahres schon berücksichtigt.

Zinseszins beim Sparplan

Zahlst du regelmäßig ein, wirkt der Zinseszins auf jede einzelne Einzahlung. Für jährliche Einzahlungen R am Jahresende gilt:

Endkapital = R × (q^n − 1) ÷ (q − 1)

Bei Aktien und Fonds gibt es keinen festen Zins. Werden Dividenden aber wieder angelegt, wirkt derselbe Effekt. Mehr dazu unter Aktiendepots als Geldanlage.

Was den Zinseszins bremst: Steuern und Inflation

• Steuern: Zinserträge über dem Sparerpauschbetrag von 1.000 € pro Person und Jahr (2.000 € bei Zusammenveranlagung) werden mit 25 % Abgeltungsteuer plus Solidaritätszuschlag und gegebenenfalls Kirchensteuer belastet. Die Steuer verringert den Betrag, der weiter verzinst wird.
• Inflation: Steigen die Preise um 2 % pro Jahr, wächst die Kaufkraft bei 3 % Zins nur um etwa 1 %. Wie Inflation wirkt, liest du unter Inflation.

Zinseszins bei Schulden

Der Effekt wirkt auch umgekehrt: Werden Zinsen auf eine Schuld nicht bezahlt und dem Kredit zugeschlagen, wächst die Schuld exponentiell. Das passiert zum Beispiel beim Dispo oder bei Kreditkarten, wenn du nur Mindestbeträge zahlst.

Das Gesetz schützt Schuldner dabei teilweise: Eine im Voraus getroffene Vereinbarung, dass fällige Zinsen selbst wieder Zinsen tragen, ist grundsätzlich unwirksam (§ 248 BGB). Ausnahmen gibt es für Banken, etwa bei Spareinlagen und Kontokorrent. Auf Verzugszinsen dürfen ebenfalls keine Verzugszinsen berechnet werden (§ 289 BGB).

Zinseszins-Aufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1: Du legst 5.000 € für 8 Jahre zu 3 % an. Wie hoch ist das Endkapital?

Lösung: 5.000 € × 1,03^8 = 6.333,85 €.

Aufgabe 2: Wie viel musst du heute zu 4 % anlegen, um in 10 Jahren 20.000 € zu haben?

Lösung: 20.000 € ÷ 1,04^10 = 13.511,28 €.

Aufgabe 3: Aus 12.000 € sind in 6 Jahren 15.000 € geworden. Wie hoch war der jährliche Zinssatz?

Lösung: 6. Wurzel aus (15.000 ÷ 12.000) = 1,03789, also rund 3,79 % pro Jahr.

Aufgabe 4: Wie lange dauert es, bis sich ein Betrag bei 6 % verdoppelt?

Lösung: n = ln(2) ÷ ln(1,06) = 11,9 Jahre, also 12 volle Jahre.

Aufgabe 5: 10.000 € werden 10 Jahre zu 2 % verzinst, einmal jährlich und einmal monatlich. Wie groß ist der Unterschied?

Lösung: jährlich 10.000 € × 1,02^10 = 12.189,94 €; monatlich 10.000 € × (1 + 0,02 ÷ 12)^120 = 12.211,99 €. Unterschied: 22,05 €.

Weitere Grundlagen zum Rechnen mit Prozenten findest du unter Prozentrechnung.

Häufige Fragen

Quellen

1. § 248 BGB – Zinseszinsen – https://www.gesetze-im-internet.de/bgb/__248.html
2. § 289 BGB – Zinseszinsverbot bei Verzugszinsen – https://www.gesetze-im-internet.de/bgb/__289.html
3. § 20 EStG – Kapitalvermögen (Sparer-Pauschbetrag) – https://www.gesetze-im-internet.de/estg/__20.html