p-q-Formel: quadratische Gleichungen lösen mit Beispielen

Die p-q-Formel

Mit der p-q-Formel löst du quadratische Gleichungen, also Gleichungen, in denen x² vorkommt. Voraussetzung ist die Normalform: Vor dem x² steht eine 1, und rechts vom Gleichheitszeichen steht 0.

x² + px + q = 0 ⇒ x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)

Dabei ist p die Zahl vor dem x (mit Vorzeichen) und q die Zahl ohne x (ebenfalls mit Vorzeichen). Das ± bedeutet: Du rechnest einmal mit Plus und einmal mit Minus und bekommst so bis zu zwei Lösungen.

Schritt für Schritt: so wendest du die Formel an

1. Auf null bringen: Alle Glieder auf eine Seite, sodass rechts 0 steht.
2. Normalform herstellen: Steht vor x² eine andere Zahl als 1, teilst du die ganze Gleichung durch diese Zahl.
3. p und q ablesen: Vorzeichen mitnehmen. Bei x² − 5x + 6 = 0 ist p = −5 und q = 6.
4. Diskriminante berechnen: D = (p/2)² − q. Sie entscheidet, wie viele Lösungen es gibt.
5. Einsetzen und ausrechnen: x₁ = −p/2 + √D und x₂ = −p/2 − √D.
6. Probe machen: Setze die Lösungen in die Ausgangsgleichung ein.

Beispiele mit Lösung

Beispiel 1: zwei Lösungen

Beispiel 2: erst in die Normalform bringen

Beispiel 3: genau eine Lösung

Beispiel 4: keine Lösung

Die Diskriminante: wie viele Lösungen gibt es?

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante. Du kannst ihn zuerst ausrechnen und weißt dann sofort, woran du bist.

Die Lösungen sind die Nullstellen der Parabel y = x² + px + q. Ihr Scheitelpunkt liegt bei x = −p/2 – das ist der erste Teil der Formel.

Herleitung: woher die p-q-Formel kommt

Die Formel ist keine Zauberei, sondern das Ergebnis der quadratischen Ergänzung. Du formst x² + px + q = 0 so um, dass links eine binomische Formel entsteht:

1. q auf die andere Seite: x² + px = −q
2. (p/2)² auf beiden Seiten addieren: x² + px + (p/2)² = (p/2)² − q
3. Links steht jetzt die erste binomische Formel: (x + p/2)² = (p/2)² − q
4. Wurzel ziehen, dabei beide Vorzeichen beachten: x + p/2 = ±√((p/2)² − q)
5. p/2 abziehen: x = −p/2 ± √((p/2)² − q)

Wenn du das einmal nachvollzogen hast, verstehst du auch, warum die Diskriminante über die Zahl der Lösungen entscheidet: Ein Quadrat kann nie negativ sein.

p-q-Formel oder abc-Formel?

Die abc-Formel, in Süddeutschland oft Mitternachtsformel genannt, löst dieselben Gleichungen, braucht aber keine Normalform. Sie geht von ax² + bx + c = 0 aus:

x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)

Beide Formeln liefern immer dieselben Lösungen. Teilst du ax² + bx + c = 0 durch a, ist p = b/a und q = c/a – dann wird aus der abc-Formel die p-q-Formel. Welche du nimmst, ist Geschmackssache und oft eine Frage dessen, was in deiner Schule gelehrt wird. Die p-q-Formel ist kürzer, wenn vor x² ohnehin eine 1 steht. Bei krummen Vorfaktoren wie 3x² ersparst du dir mit der abc-Formel das Rechnen mit Brüchen.

Schnelle Probe mit dem Satz von Vieta

Für die Lösungen der Normalform gilt immer: x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Bei x² − 5x + 6 = 0 ist 3 + 2 = 5 = −p und 3 · 2 = 6 = q. Stimmt beides, hast du richtig gerechnet. Bei kleinen ganzen Zahlen kannst du die Lösungen so manchmal sogar direkt erraten.

Typische Fehler bei der p-q-Formel

• Normalform vergessen: Bei 3x² + … musst du erst durch 3 teilen – und zwar jedes Glied.
• Vorzeichen von p: Ist p negativ, wird −p/2 positiv. Bei x² − 8x + 7 = 0 ist −p/2 = +4.
• (p/2)² falsch: Das Quadrat ist immer positiv, auch wenn p negativ ist: (−4)² = 16.
• Minus q übersehen: Ist q negativ, wird unter der Wurzel addiert: (p/2)² − (−5) = (p/2)² + 5.
• Nur eine Lösung notiert: Das ± liefert zwei Ergebnisse, außer die Diskriminante ist null.

Anwendung: Zinssatz aus zwei Einzahlungen berechnen

Quadratische Gleichungen tauchen auch bei Geldfragen auf, etwa wenn du aus einem Endbetrag den Zinssatz zurückrechnen willst. Angenommen, du zahlst heute 1.000 € und in einem Jahr noch einmal 1.000 € ein. Nach zwei Jahren hast du 2.152,50 €. Welcher Zins steckt dahinter?

Probe: 1.000 € · 1,05² = 1.102,50 € plus 1.000 € · 1,05 = 1.050 € ergibt 2.152,50 €.

Häufige Fragen