Dreisatz
Beim Dreisatz handelt es sich um einen der Grundbegriffe der klassischen Mathematik.
Wer das nicht kann, der ist in dieser Naturwissenschaft von Anfang an verloren. Was ist der Dreisatz? Wie wird er angewendet? Alle diese praktischen Informationen findet ihr in den folgenden Passagen.
Inhaltsverzeichnis
1. Was ist ein Dreisatz?
Wie es das Wort schon erahnen lässt, handelt es sich hierbei um eine Rechnung in drei Teilen. Deswegen auch Dreisatz. Der Begriff Dreisatz kommt aus dem Französischen (frz.: Regle de tn) und bedeutet so viel wie Verhältnisrechnung.
Wie bei der klassischen Prozentrechnung, werden hier bestimmte Werte ins Verhältnis gesetzt um den fehlenden Wert zu ermitteln.
Ganz allgemein ist der Dreisatz keine Gesetzmäßigkeit in der Mathematik sondern eine Möglichkeit, eine Aufgabe zu lösen ohne das zugrunde liegende mathematische Verfahren so richtig zu verstehen. Des weiteren ist es ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben.
Wie funktioniert der Dreisatz?
Wie schon erwähnt befasst sich der Dreisatz mit dem Lösen proportionaler Zusammenhänge (Beispiel: wenn der Wert A steigt, muss auch der Wert B steigen – und umgekehrt).
Den folgenden Beispielen liegt dieser Zusammenhang zugrunde.
2. Beispiel eines Dreisatzes (1)
Du gehst Tanken. Der Liter Super-Benzin kostet 1,72 €. Dein Tank fasst 65 Liter. Er ist fast leer. Du tankst 60 Liter. Wie viel musst du dafür bezahlen?
Eine einfache Aufgabe aus der Praxis, wie man sie auch in einer Schulaufgabe wiederfinden könnte.
Die Verhältnisformel dazu lautet:
A B
___ = ____
a b
Die einzelnen Werte (A, a / B, b) stehen im Verhältnis.
Setzt man nun die Werte aus der Aufgabe ein ergibt sich folgendes Bild:
1 60
____ = _____
1,72 b
Ein zu tankender Liter (A) verhält sich zum Preis von 1,72 €, wie die zu tankenden Liter B also 60, wie der zu ermittelnde Preis für diese Menge b.
An dieser Formulierung lässt sich schon das Verhältnis der Werte zu einander erkennen.
Willst du jetzt den Preis (b) berechnen, musst du die Formel nach b umstellen:
b = (1,72 * 60) / 1
Das ergibt einen Preis von stolzen 103,20 € für ein vollgetanktes Auto.
Um den Zusammenhang noch genauer zu verdeutlichen folgt aufbauend auf dieses Beispiel gleich noch ein Zweites:
3. Beispiel eines Dreisatzes (2)
Ein durchschnittlicher PKW benötigt heute ungefähr 5,6 Liter auf 100 Kilometer Fahrstrecke, bei angemessener Geschwindigkeit.
Wenn du von wegen einer Geschäftsreise von München nach Hamburg fahren musst, dann fährst du ungefähr 780 Kilometer.
Es wird die Benzinmenge gesucht, die du für den Weg nach Hamburg verbrauchst.
Dazu nutzen wir wieder unsere Formel:
A B
___ = ____
a b
Darin setzen wir dann die gegebenen Werte ein, die jeweils im Verhältnis zueinander stehen, also:
Der Wagen braucht auf 100 Kilometer – 5,6 Liter und er braucht auf 800 Kilometer b Liter Benzin.
100 800
___ = ____
5,6 b
Umgestellt ergibt sich folgende Rechnung:
b = (5,6 * 800) / 100
Als Ergebnis sehen wir, dass das Auto auf dieser Strecke 44,8 Liter Benzin verbraucht. Du musst also nicht sofort wieder Tanken.
… geht das immer so einfach?
4. Antiproportionale Verhältnisse
Grundsätzlich schon, aber es gibt auch antiproportionale Verhältnisse.
Das bedeutet, einen entsprechende Menge erhöht sich nicht automatisch, wenn sich die zweite Menge auch erhöht.
In diesem Fall muss die Formel umgestellt werden, oder besser die Werte müssen anders eingesetzt – in ein anderes Verhältnis gebracht werden.
BEISPIEL:
Zwei Mähdrescher drischt zwei Hektar Weizen in drei Stunden. Wie viel Zeit brauchen dann drei Mähdrescher?
Lösung:
Die Formel bleibt die Gleich, nur das Verhältnis ist jetzt Mähdrescher zu Mähdrescher und Stunden zu Stunden.
2 B
___ = ____
3 3
In diesem Fall steht das gesuchte B für die Dauer in Stunden, die drei Mähdrescher brauchen.
Daraus ergibt sich folgende Formel:
B = (2 * 3) / 3
Sie brauchen also zu dritt eine gute Stunde weniger – nur noch zwei Stunden.
5. Zusammenfassung
Dreisatz = Verhältnisrechnung (proportional/anti-proportional anwendbar)
Anwendung:
- Zur Lösung von Berechnungen mit einen direkten Zusammenhang
- Werte stehen im Verhältnis zueinander
- praktisch in jeder Lebenslage vertreten (Tanken, Einkaufen)
Formel:
A B
___ = ____
a b
